Matemáticas (M)

Productos notables

 

¡Hola! hoy os dejo las tres formuls para realizar los ejercicios de productos notables con ejercicios resueltos de tipo exámen hechos por mi, espero que os sea útil.

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RADICALES
Se llama raíz n-ésima de un número a, y se escribe
, a un número b que elevado a n dé a.
Ejemplos:


se llama radical; a, radicando; y n, índice de la raíz.
EXISTENCIA DE RADICALES.
Primera: si a es positivo,
existe, cualquiera que sea n.

Segunda: si a es negativo, sólo existen sus raíces de índice impar.

Tercera: salvo que a sea una potencia n-ésima de un número entero o fraccionario,
es un número irracional. Sólo podremos obtener su expresión decimal aproximada.
FORMA EXPONENCIAL DE LOS RADICALES
La raíz n-ésima de un número puede ponerse en forma de potencia:

Esta nomenclatura es coherente con la definición.

Es importante familiarizarse con la forma exponencial de los radicales, pues nos permitirá expresarlos y operar cómodamente con ellos.

PROPIEDADES DE LOS RADICALES
Los radicales tienen una serie de propiedades, que debemos conocer y utilizar con soltura. Todas ellas son consecuencia inmediata de conocidas propiedades de las potencias. Veámoslas una a una, estudiando su significado en algunos ejemplos, y viendo sus aplicaciones.
Primera:

Ejemplos:

Esta propiedad tiene dos importantes aplicaciones:
simplificar radicales tal y como se ha visto en los ejemplos anteriores;
conseguir que dos o más radicales tengan el mismo índice (reducir a índice
común).

Segunda:

Ejemplos:

Esta propiedad tiene dos aplicaciones importantes:
sacar un factor fuera de la raíz;

de modo contrario, juntar varios radicales en uno solo.

Tercera:

Ejemplos:

Esta propiedad, junto con la primera y segunda, sirve para poner productos y cocientes de radicales bajo una sola raíz.

Cuarta:

Ejemplos:

Quinta:

Ejemplos:

RADICALES SEMEJANTES
Dos radicales son semejantes cuando tienen el mismo índice y radicando.

Los radicales
y
son semejantes. Tienen el mismo índice, 2, y el mismo radicando, 3.

y
son semejantes. Esto se comprueba sacando factores del radical.

y
son semejantes. Esto se comprueba sacando factores del radical.

Más ejemplos de radicales semejantes:

OPERACIONES CON RADICALES
La suma o la resta de radicales semejantes es otro radical semejante a los dados, cuyo coeficiente es igual a la suma o la resta de los coeficientes de los radicales sumados o restados.

Ejemplo:

Si los radicales no son semejantes, la suma se deja indicada.
Ejemplo:

El producto de radicales, con el mismo índice, es igual a otro radical cuyo coeficiente y radicando son iguales, respectivamente, a los productos de los coeficientes y radicandos de los factores.

Ejemplo:

El cociente de dos radicales con el mismo índice, es igual a otro radical, cuyo coeficiente y radicando son iguales, respectivamente, al cociente de los coeficientes y radicandos de los radicales dividendo y divisor.

Ejemplo:

La potencia de un radical es igual a otro radical, cuyo coeficiente y radicando están elevados a dicha potencia.

Ejemplo:

Es importante observar que al elevar al cuadrado un radical de índice 2, se obtiene el radicando.

Ejemplo:

EXPRESIONES FRACCIONARIAS
Al efectuar cálculos con radicales pueden surgir expresiones fraccionarias en las que aparezcan radicales.
Estas expresiones no son números racionales, pues para ello el numerador y el denominador tendrían que ser números enteros.
A estas expresiones las llamaremos expresiones fraccionarias, y verifican las mismas propiedades que los números racionales. Es especialmente importante recordar estas dos:
Primera: dos expresiones fraccionarias son equivalentes si los productos cruzados son iguales.
Segunda: si multiplicamos el numerador y el denominador de una expresión fraccionaria por una misma expresión distinta de cero, se obtiene una expresión fraccionaria equivalente a la primera.


!Hasta pronto!








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Notación científica

La notación científica, también denominada patrón o notación en forma exponencial, es una forma de escribir los números que acomoda valores demasiado grandes (100000000000) o pequeños (0,00000000001) para ser convenientemente escrito de manera convencional. El uso de esta notación se basa en potencias de 10 (los casos ejemplificados anteriormente en notación científica, quedarían 1 × 10¹¹ y 1 × 10⁻¹¹, respectivamente). Como ejemplo, en la Química, al referirse a la cantidad de entidades elementales (átomos, moléculas, iones, etc.), hay una cantidad llamada cantidad de materia (mol).
Un número escrito en notación científica sigue el siguiente patrón:

  ( m x 10 elevado a x )

El número m se denomina mantisa y e el orden de magnitud. La mantisa, en módulo, debe ser mayor que o igual a 1 y menor que 10, y el orden de magnitud, dada como exponente, es el número que más varía conforme al valor absoluto.
Observar los ejemplos de números grandes y pequeños:

• 600 000
• 30 000 000
• 500 000 000 000 000
• 7 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000
• 0,0004
• 0,00000001
• 0,0000000000000006
• 0,0000000000000000000000000000000000000000000000008

La representación de estos números, tal como se presenta, tiene poco significado práctico. Incluso se podría pensar que estos valores son poco relevantes y de uso casi inexistente en la vida cotidiana. Sin embargo, en áreas como la Física y la Química, estos valores son comunes. Por ejemplo, la mayor distancia observable del universo mide cerca de 740 000 000 000 000 000 000 000 000 m, y la masa de un protón es de unos 0,00000000000000000000000000167 kg. ¡Un saludo!

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Potencias

Una potencia es una forma abreviada de escribir un producto formado por varios factores iguales.

      5 · 5 · 5 · 5 = 5⁴

Los elementos que constituyen una potencia son:
-La base de la potencia es el número que multiplicamos por sí mismo, en este caso el 5.
-El exponente de una potencia indica el número de veces que multiplicamos la base, en el ejemplo es el 4.

 Propiedades de las potencias de números naturales:

-Un número elevado a 0 es igual a 1

     

Ejemplo:

5⁰ = 1

-Un número elevado a 1 es igual a sí mismo

     

Ejemplo:

5¹ = 5

-Producto de potencias con la misma base
Es otra potencia con la misma base y cuyo exponente es la suma de los exponentes.

     

Ejemplo:

2⁵ · 2² = 2⁵⁺² = 2⁷

-División de potencias con la misma base
Es otra potencia con la misma base y cuyo exponente es la diferencia de los exponentes.

     

Ejemplo:

2⁵ : 2² = 2^{5 − 2} = 2³

-Potencia de una potencia
Es otra potencia con la misma base y cuyo exponente es el producto de los exponentes.

     

Ejemplo:

(2⁵)³ = 2¹⁵

-Producto de potencias con el mismo exponente
Es otra potencia con el mismo exponente y cuya base es el producto de las bases.

     

Ejemplo:

2³ · 4³ = (2 · 4)³=8³

-Cociente de potencias con el mismo exponente
Es otra potencia con el mismo exponente y cuya base es el cociente de las bases.

     

Ejemplo:

6³ : 3³ = (6:3)³ = 2³

^{Hasta aquí hemos avanzado en el temario de clase, ¡hasta pronto!}

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Números naturales

- Son cualquier número que se usa para contar los elementos de algo.
- Se representan con la letra N y son todos los números positivos con cifra exacta (1, 2, 3, 4, 5...).
- Sus operaciones internas (En un conjunto de números si para todos los valores de la operación el resultado pertenece a ese conjunto de números es una operación interna) son la suma ( + ) y la multiplicación (x, · ). Ejemplo: 5+5= 10, 2·6= 12.

Números enteros

-Son un conjunto de números que incluye a los números naturales, a los números negativos de los naturales y al número 0 (-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3).
-Se representan con la letra Z y son todos los números positivos y negativos exactos.
 Ejemplo: -1 y 19 (Bien) y  -1,36 y 19,87 (Mal).
-Sus operaciones internas son la suma ( + ), la resta (-) y la multiplicación (x, · ).
 Ejemplo: -3+6= 3, -20-8= (-28) y 3·(-3)= (-9).

Números racionales

-Son todos los números que se pueden representar en forma de fracción con numerador y denominador distinto de cero ( 6/9, 7/14...).
 -Se representan con la letra Q y son todas las fracciones con un numero entero  un natural positivo, una fracción común (a/b).
-Sus operaciones internas son la suma ( + ), la resta ( - ), la multiplicación ( x, · ) y la división ( :, / ).
Ejemplo: a/b + c/d= e/f .

A continuación dejo un vídeo explicativo del temario, para que comienze la explicación debéis adelantar el vídeo hasta el minuto 07:00.
                                  https://www.youtube.com/watch?v=ZhDcvR-eFAE 

Un saludo.